封井器吊装架横梁的侧向屈曲临界载荷计算

　　关于狭长矩形梁的侧向屈曲问题，人们已做了大量的研究工作［1～4］，但目前所能查到的可供设计使用的狭长矩形梁的屈曲临界载荷，主要是纯弯曲梁、简支梁和悬臂梁受横向集中力或分布力作用时的情况。对于简支梁一端受集中力偶作用和外伸梁的屈曲临界载荷，没有查到现成的公式。狭长矩形梁的侧向屈曲问题是机械设备和工程结构设计中应该考虑的一个重要问题。在分析封井器吊装架横梁的侧向屈曲问题时，笔者计算了这种情况下的侧向屈曲临界载荷。下面介绍其计算公式的理论推导和数值结果，同时给出这种情况下用能量法计算的表达式和近似解。结果表明，两者吻合很好。

理论分析和数值计算

　　封井器吊装架横梁如图1所示，由于吊装架横梁是一狭长矩形截面梁，需要进行稳定性校核。在装卸封井器时，封井器在横梁上移动，当封井器在梁的AB段内时，相当于一个简支梁受横向集中力偶作用时的侧向屈曲问题，这已有现成的结果可查。当封井器移动到自由端C点时，相当于外伸梁的侧向屈曲问题。对于外伸梁ABC来说，其AB部分的侧向屈曲问题，完全等价于图2所示的简支梁，下面首先给出简支梁一端受集中力偶作用时的侧向屈曲临界载荷的理论分析及数值计算。

图1　封井器吊装架横梁示意图

图2　一端受集中力偶作用的简支梁

　　对于图2所示的简支梁，假设梁的两端可以自由地绕平行于Y及Z轴的惯性主轴转动，但不能绕X轴转动，于是,当力偶矩M达到某值时，侧向屈曲与扭转同时发生。建立图2所示固定坐标系，在任一截面的中心建立一活动坐标系，坐标轴Y′、Z′在横截面的主轴方向, X′在屈曲后的轴线的切线方向。梁的变形由横截面的形心在Y及Z轴方向的位移v、w两分量及横截面绕X轴的转角φ来描述。对于很小的φ角，梁在X′Y′和X′Z′平面的曲率分别与XY和XZ平面的曲率相同，梁每单位长度内的扭转角为dφ/dx。梁所应满足的平衡微分方程［2］为

　　(1)

　　(2)

　　(3)

式（1）～(3)中，E和G分别为杨氏弹性模量和剪切弹性模量。对于离左端距离为x的截面,其内力分量为

　　(4)

My′=Rx　　(5)

Mz′=-φRx　　(6)

式(4)～(6)中，R为左端的约束反力，MnA为左端约束扭转力矩。将式(4)～(6)代入式（1）～(3)，则平衡微分方程变为

　　(7)

　　(8)

　　(9)

将式(7)对x微分,并用式(9)消去得

　　(10)

令则式(10)变为

　　(11)

对于这个变系数的微分方程，可以用无限级数法求解。设

　　(12)

将式(12)代入式(11)得

　　(13)

从式(13)可以看出，各系数之间必须满足下列关系0,a7=0,…，写成递推公式为a4n+3=0, 其中n=1,2,3，…。　　最后得式(11)的通解为

　　(14)

　　端点条件为在梁的两端φ=0，由x=0时φ=0， 得a0=0；当x=l时φ=0得

　　(15)

　　通过数值计算知道，上式有无数个根，这些根中有意义的即最小的根为kl2=5.55, 所得临界载荷公式为

　　(16)

　　 对于梁的外伸部分BC，虽然B点在XY和XZ面内的约束与固定端有所不同，但都不允许绕轴线转动，所形成的求解侧向屈曲临界载荷的平衡微分方程及定解条件与悬臂梁是完全相同的，所以其临界载荷也应该是完全相同的，由文献［2］知道其临界载荷计算公式为

　　(17)

　　无论梁的哪一部分发生屈曲,整个梁都会失去承载能力。其临界载荷要根据具体条件取较小者。如果a<0.726l,应使用式（16）；否则，应使用式（17）。

能量法近似计算

　　除了理论分析外，梁的侧向屈曲临界载荷可以通过能量方法近似计算。下面首先讨论图2所示简支梁临界载荷的能量法计算。当梁发生侧向屈曲时，其应变能将增加，增加的应变能为梁在侧向平面内（XY平面内）的弯曲及绕着X轴的扭转应变能，同时由于梁的侧向弯曲及扭转将会使梁右端在XZ平面的转角有一个增量，力偶矩M做的功将增加。其临界值可用功的增加量等于应变能的增加量来确定。这里忽略了屈曲发生时梁在XZ平面内弯曲应变能的微小改变。如果XZ平面内的刚度比XY平面内的大很多时，所得结果是足够精确的。 应变能的增加量为

　　(18)

　　由式(9)知，式(18)可变为

　　(19)

　　假定右端截面处的绝对转角增量为ΔθB，令逆时针转角为正，则力偶矩M做功的增量为ΔW=-MΔθB，确定临界载荷的计算公式为

　　(20)

　　梁在XY平面内弯曲时，长度为dx一段的相对转角为导致在XZ平面内的相对转角为φ离左端距离为x处截面相对于左端A截面在XZ平面内的转角增量为

　　(21)

　　对式(21)取不定积分得

　　(22)

　　再积分一次得挠度增量为

　　(23)

　　根据梁两端的条件，可以确定2个积分常数。把求得的c1代入式(22)，令x=l,可得ΔθB。选取满足梁两端条件的φ，代入式（20）～（23），可以求得Mcr。如取φ=x(l-x),则

　　(24)

这个结果与理论结果式（14）相比较，误差为6.6%。如果取φ=a1x(l-x)+a2x2(l-x)，则有

　　(25)

与理论结果相比较，误差为0.58%,如果取得项数更多,其结果将更接近理论值。　　关于用能量法求悬臂梁的临界载荷与上面基本相同，与式（20）相对应的能量平衡公式为

　　(26)

　　选取近似函数为

　　(27)

代入式（25），可得临界载荷为

　　(28)

这与理论解式（17）几乎是一致的。　　同样可以对整个梁应用能量法求其临界载荷，其能量方程为

　　(29)

　　对于φ的近似函数可以在局部坐标系下分段插值,如在两段分别选取与上面式（24）和（27）相同的多项式函数，可以计算出分别与式（25）和（28）相同的两个临界载荷计算公式，可见这与单独考虑两段梁是相同的。这说明把外伸梁分解成简支梁和悬臂梁是正确的。

署恒木，副教授，生于1957年，1982年毕业于石油大学（华东）固体力学专业，1991年至1993年在法国高等航空与机械学院进修，现从事教学及油田工程力学的研究工作。

参　考　文　献

1，范钦珊，朱祖成译.材料力学手册.(苏)Писаренко Г С,Яковлев А П,Матвеев В В.　Справочник по　Сопротивлению　Материалов.北京：中国建筑工业出版社，1981:523～5332，张福范译.弹性稳定理论.(美)Timoshenko S P,Gere J M.Theory of Elastic Stability.北京：科学出版社,1958:236～2743，陈铁云,沈惠申.结构的屈曲.上海：上海科学技术文献出版社，1993:55～604，袁文伯.工程力学手册.北京：煤炭工业出版社，1988:672～685

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