摘要：针对高中压配电网的特点，将电压/无功优化问题分解成电容器投切和变压器分接头调整两个子问题，通过这两个子问题的交替优化得到最终解。采用原对偶路径跟踪法求解逐次线性化的电容器投切优化问题时，适当简化电压约束，提高了求解速度。变压器调整则采用逐步调整策略实现电压控制和减少调整次数。另外，改进了前代后代法潮流算法使之能处理弱环网和变压器支路。最后，通过算例验证了该算法的有效性。
关键词：配电网络 电压/无功优化 线性规划 内点法 前代后代法
1前言
配电网电压无功优化是一个多变量、多约束混合非线性规划问题，优化方法主要有线性规划法［1，2］、非线性规划法［3］、动态规划法［4，5］和现代启发式搜索方法。非线性规划法具有较高的精度，但收敛性能有待提高。动态规划法和现代启发式搜索方法可以收敛于全局最优解，但计算时间随问题的规模急剧增加。线性规划法是一种非常成功的求解无功优化问题的方法，它的主要优点是收敛可靠，计算速度快，便于处理各种约束条件。而线性规划内点法具有多项式时间复杂性，适合解决大规模配电网的电压/无功优化问题。本文运用原对偶路径跟踪内点法解决电容器优化投切子问题，计算时适当简化了电压约束，提高了求解速度。
配电系统按电压等级可分为高压配电网(35~110kV)、中压配电网(6~10kV)、低压配电网(220~380kV)。在高中压配电网中，可通过投切电容器和调节变压器分接头达到电压无功优化的目的。根据高中压配电网具有弱环网或辐射状的特点，将优化问题分解成电容器投切和变压器分接头调节两个子问题，通过对两个子问题的交替优化来协调两者之间的耦合性，并得到最终最优解。另外，考虑到系统具有弱环网和存在变压器支路的情况，改进了前代后代法潮流算法。
2高中压配电网无功优化的数学模型
在高中压配电网中，变压器分接头的调节和电容器投切是电压无功控制的主要手段，事实上两种控制手段之间的耦合比较弱［2］，在实际系统中常常是分开进行的［2，6］。分接头变量对系统损耗的影响较小，可将优化问题分解为电容器投切和变压器分接头调整两个子问题［2，6］。对于电容器投切子问题，综合考虑了网损最小和电压水平最好两方面因素，为将这两部分目标函数值限制在同一数量级以便进行加权相加，对其进行了一些处理。而变压器分接头调整子问题以变压器分接头调整次数最少为目标。两个子问题的数学模型分别为式(1)和式(2)。
式（1）、（2）中：Ploss、Pload分别为系统有功损耗和系统总有功负荷； 
分别为节点电压、节点电压期望值和节点电压上下限；λ、n分别为权系数和负荷节点数；V表示节点电压幅值组成的列向量矩阵；Q为可投切电容器容量列向量矩阵；K为非负整数列向量矩阵；N为非负整数集合；BC为电容器单台容量对角矩阵；T为可调变压器分接头档位列向量矩阵；式(1)、(2)中不等式约束包括节点电压、可投切电容器容量和变压器分接头上下限约束；等式约束为潮流约束f()。式(1)中目标函数由两部分组成，分别为相对有功损耗和相对电压偏差量，两部分之间不存在量纲问题，且数量等级基本相同。式(2)中目标函数为变压器分接头调整次数fT。
在优化计算时，两个子问题应协调进行。首先优化投切电容器，这将导致电压水平有一定的提高，所以可以适当放宽式(1)的电压约束；使变压器分接头调整有一定的调整空间。优化投切后，如果节点电压越限，分三种情况：只越上限，只越下限或同时越上下限，则相应修改式(2)的电压约束：减小电压上限值，提高下限值或缩短上下限范围，然后进行变压器分接头调整，这样使得下一次电容器优化投切在一个较好的电压水平上进行。两个子问题来回交替迭代，从而得到最终最优解。一般来回交叉迭代1~3次就可得到最终最优解。
3电容器投切优化的逐次线性内点法
3.1电容器投切优化的逐次线性化
将式(1)表示为在某一运行点的直角坐标系统下的对Q线性化的增量型模型。首先将状态变量电压的实部和虚部线性化，实际上就是潮流约束方程的线性化表达式，在此基础上可求出电压幅值矩阵V的线性化系数CV和目标函数中的有功损耗Ploss线性化系数Closs，具体的方法可参考文献［1］。目标函数中电压相对偏差量部分的线性化系数求法如下：依次对所有的Vi求导后 乘以CV中的相应的行得到n×m阶矩阵，再将这个矩阵每列元素求和即可得到电压相对偏差量线性化系数。令目标函数总的线性化系数为C，线性化的最大调节步长为对角矩阵Stp，可用如下的线性模型式(3)来近似模拟式(1)。
CT为目标函数系数。式(3)中上标T表示矩阵的转置，下同。式(4)是式(3)的约束条件上下限的取值调整式，已将ΔQ的上下限变换为x的上下限，e为单位列向量，式(3)实际上是对变量x的求解，x可以理解为线性化步长Stp的倍数列矩阵，因为Stp向上或向下调整的最大值，所以x取值不会超过［e,e］，经过这样变换之后，有利于下文中用内点法 求解时找到合理的初始可行解和减小初始对偶间隙。
在求线性化系数时关键是求系统的节点阻抗矩阵，而对于纯辐射型网络而言非常简单［1］。本文将系统视为一个整体，这样无需考虑环网是否只存在于单条馈线组内［2］，所以计算弱环系统的节点阻抗矩阵较为方便。首先解环，在纯辐射状态下求节点阻抗矩阵，然后运用支路追加法［7］进行修正。由于高中压配电网通常为辐射状或弱环网状，一条馈线上电压一般不可能同时越上限或下限，在选择较小的线性化的最大调节步长Stp的条件下，在逐次线性求解过程中ΔQ及电压的变化量CV·ΔQ相对较小，所以在本次线性优化过程中只需保证本馈线上前一次线性优化后的最高电压点、最低电压点、电容器所在节点、高压(110kV)侧节点及某些重要节点的电压不越限，从而简化了式(3)的约束条件而不会影响求解的正确性。
在上述内容的基础上，模型式(1)的求解过程概括如下：在满足无功就地平衡的条件下进行潮流计算得到式(1)的初始可行解并求出线性化系数，然后用原对偶路径跟踪内点法求解式(3)得到一个x，即得到一个ΔQ，更新Q再进行潮流计算，修正线性化系数，相应的按式(4)调整约束条件上下限后重新求解式 (3)，如此循环迭代直到收敛为止，最后进行归整。
3.2原对偶路径跟踪内点法
令cT=CT·Stp，将式(3)变换为只含变量x的模型后，令x1=x-xmin，通过引入松弛变量将x1上限约束及电压约束变为等式约束，在x1中添加松弛变量，在c中与松弛变量对应的位置添加零元素，相应地可将式(3)等效变换为一个标准的线性规划 问题式(5)，式(5)中A为系数矩阵，b为常数列矩阵，式(6)为式(5)的对偶问题，y、z分别为对偶变量和对偶松弛变量。
通过加入人工变量xn 1、ym 1和对偶松弛变量zn 1、zn 2，构成如下的增广原对偶问题
、(8)的第二个等式可以解出相应的x1n 2、zn 1，它们共同组成一组起始可行解。由前述可知式(5)的解x1不会超过［0，2e］，通过上面的方法求出的初始可行解与其最优解在数值上相差不大，使得初始对偶间隙减小，较好地避免了迭代时对偶间隙振荡。从初始可行解开始迭代，当人工变量趋于零时，为简便起见，相应矩阵划去人工变量所在的行和列。关于式(7)、(8)从初始可行解开始迭代求解的方法见文献［8］。求解完毕后，令x=x1 xmin进行还原。
3.3归整办法
在求解形如式(1)有整数约束的规划问题时，大都采用就近归整的办法，这可能使最优浮点解与最优整数解相差甚远或得到次优解。事实上目标函数系数CT相当于最优梯度方向，所以可以根据最后一次线性化的CT中元素的符号进行近似归整，如果为负，表示增加电容器投入量可减少损耗，可向上归整，否则向下归整。
4逐步调整变压器分接头
变压器分接头调整优化的目标函数只考虑调整台数，所以优化的目的就是在满足电压约束的情况下，使调整次数最少，是一个相对简单的整数规划问题，对模型式(2)不必用数值计算求解，可直接从高中压配电网的拓扑结构和变压器调压特性出发考虑其优化策略。
高中压配电网通常呈辐射或弱环网状，当调整变压器(通常为降压变压器)的分接头时，其低压侧线路上节点电压变化较大，而其高压侧节点电压变化较小，对本馈线(高、中压馈线)范围内节点电压的调整基本不会影响其余馈线。基于上述特征，可形成如下的逐步调整策略：本变压器直接供电范围内有电压越限节点，首先考察上一级高压节点和相邻变压器直接供电范围内节点电压越限情况，如有越限则应调整上一级高压节点所属变压器分接头，否则只应调整本变压器分接头；如果变压器分接头位置已接近限值，应通过上一级来调整；调整步长为一档，在此基础上进行潮流计算后，再进行下一次调整直到无电压越限节点为止，将相应变压器分接头的应调整量累加，即得到总的调整量。以图1所示系统为例考察其逐步调整策略。
如图1所示，1＃变压器为3＃、4＃、5＃变压器的上一级，3＃变压器和4＃、5＃变压器相邻。如果只有L7线路上电压越限，只需调整3＃变压器分接头。如果L7、L3线路上电压同时越限，则首先调整1＃变压器分接头，在调整后L3合格而L7仍越限，则只调整3＃变压器分接头。如出现L8和L3或L6或L7越限的特殊情况，首先调整1＃变压器分接头，如果在假定调整后L7或L8越限，再调整相应变压器分接头。如果L1线路上电压越限则只能通过电容器投切减少1＃、2＃变压器无功流或更高一级调度来消除。每次只调整一档，然后进行潮流计算，再判断是否进行下一次调整，电压合格后，将各个变压器的单次调整量累加得到各自的调整量即可。
调整策略的基本思路是首先找到系统中“最必要”调整的变压器，某些节点电压越限可能在其调整下消除，减少了不必要的调整，设定调整量为一档避免出现调整振荡。整个优化过程以多次潮流为代价使调整次数达到最少。
实现步骤如下：
1)潮流计算，节点电压合格则转到4)，否则记录电压越限的节点号和越限性质在IllVolNo des结构体数组中。
2)指针指向IllVolNodes的首行，运用深度优先搜索算法，从电压越界节点向根节点方向搜索，遍历第一个变压器后遇到电压越限节点则继续向上搜索，否则停止搜索，遍历到的最末一个变压器为待调变压器，根据IllVolNodes中信息确定待调整的方法并记录在AdjustTrans结构体数组相应行中，指针下移直到最后。
3)只保留AdjustTrans数组内容不同的行，根据AdjustTrans中信息修改相应变压器支路的参数，转到1)。
4)将AdjustTrans数组中档位值减去优化前的档位值即得到调整量。
在步2)中如果待调变压器的分接头已接近限值，搜索时将其高压侧节点电压视为越限，这样将得到可行的调整量。如果电压越界的节点处于环网中，将此节点调换到IllVolNodes的最后一行，从任意一个方向搜索，而在下次迭代中从另一个方向进行搜索。
5配电网潮流计算的改进前代后代法
在优化计算中频繁计算系统的潮流，潮流计算的速度对优化的速度影响较大。前代后代法被认为是求解辐射状配电网潮流问题的最佳算法之一。该方法的主要优点是：1) 收敛特性接近线性，迭代次数与网络规模基本无关；2) 不需要进行矩阵运算，计算速度快；3)存储量小，不需要计算和存储网络的导纳矩阵，适合大规模辐射状配电网的潮流计算。但未改进的前代后代法处理环网和变压器支路能力较差，本文就这两方面进行了改进来适应优化模块的调用。
5.1对于弱环系统的处理
本文的思路与文［9］基本相同，首先利用叠加原理将系统等效分解为纯辐射状系统和纯环 网系统，计算纯辐射状系统后得到解环点的电压差从而计算出纯环网系统的回路电流，将此电流与解环点的负荷电流叠加，再重新计算被分解的两个系统，反复迭代直到解环点的电压差小于迭代精度为止。本文采用基于节点邻接表节点编码方法，简化了编码，结合深度优先搜索算法识别环网，自动形成纯环网系统的节点阻抗矩阵。
5.2变压器支路的处理
根据理想变压器只改变其两端电压电流，不改变传送功率的原理，本文直接采用如图2所示的理想变压器模型并推导了支路电流型前代后代法的迭代公式 
由图2可以推出电流前推和电压回代公式，分别为式(9)和式(10)。
对于三绕组变压器，可表示成高压侧和中压侧串联理想变压器而低压侧固定变比为1的星形连接的等效模型，同样用式(9)和式(10)计算。对于非变压器支路，为使程序简单统一，可串联变比为1的理想变压器。用规模相同的两个算例进行验证，一个算例含有变压器支路而另一个不含，分别用该算法与未改进算法进行计算，迭代次数相同，计算时间相差无几。
用IEEE 33、IEEE 69系统和本文实际算例系统对经过上述两个方面改进的潮流计算子程序进行了验证，结果表明该子程序能有效地处理弱环网和变压器支路，且计算速度快，收敛性能好。
6算例分析
为了验证本文提出的算法的有效性，在MATLAB环境下进行了相应算法的程序编制。以某地区两个110kV~10kV系统配电网作为算例。系统的初始电容器投入组数仅为满足无功就地平衡，为尽量减少馈线上的电压越限点数致使变压器分接头的初始位置也不合理，整个系统的损耗偏高，电压越限(0.95~1.05)点较多。系统的主要数据如下表。
以初始状态启动，用本电压无功优化程序进行计算，电容器投切步长为0.5倍单台电容器容量，电压上下限分别为0.95和1.05(标幺值)。计算结果如表2。
注：表中a指最外层迭代数；b指电容器优化投切迭代数；c指分接头调整迭代数。
经过优化后，消除了电压越限，电压水平有较大提高，网损也下降很多。电容器优化投切和分接头调整交替迭代数保持在2~
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