机网暂态过程数值仿真中的同步电机模型

戴家祯
深圳市能源集团有限公司，广东省深圳市518054

1　引言
　　在电力系统机网暂态过程的数值仿真中，对于同步电机，几乎无一例外地要采用dqo坐标系来描述。然而，dqo坐标系下以微分方程表示的电压方程组中的旋转电势使直轴电压方程与交轴电压方程之间存在耦合，如何处理旋转电势是同步电机数值模拟的关键之一。迄今为止，对同步电机的数值模拟主要有两种方法，一是带耦合的差分法模型，即采用隐式梯形法直接对同步电机的电压方程组进行差分化，并与其磁链方程组联立求解，这时，直轴分量与交轴分量间是有耦合的，1台同步电机要用12个联立的差分和代数方程来描述，而且，其系数矩阵的形成缺乏规律，既不便于编程，又不能实现解耦计算，因此实际应用很少。第二种模拟方法是带预估的等值电路法模型，即对电压方程组中旋转电势以外的部分采用隐式梯形法进行差分，得到瞬态等值电路，并利用仿真过程中得到的前两个时步的直轴和交轴磁链的数值来外推估算当前仿真时步的旋转电势的数值，再将此旋转电势的预估值加到上述等值电路中去。著名的EMTP程序中采用的就是这种同步电机模型^［1］。文献［1］指出，由于采用预估法计算旋转电势，当仿真步长较大时会造成算法的不稳定，降低仿真的精度。
　　本文提出的同步电机模型及其瞬态等值电路，通过采用“先求通解，再用梯形法求积”的方法对无阻尼绕组同步电机的电压方程组进行差分化，既成功地消除了由旋转电势引起的、存在于同步电机直轴电压方程和交轴电压方程之间的耦合，实现了直轴与交轴的解耦计算，又避免了因对旋转电势进行预估所造成的仿真算法的不稳定性，同时还保留了EMTP瞬态等值电路的基本结构，便于编程和使用。算例表明，这一新模型具有更好的稳定性，在同等仿真步长时比EMTP模型具有更高的计算精度。
2　电压方程的差分化
　　众所周知，在实用正方向下，无阻尼绕组同步电机的动态行为可用以下电压方程和磁链方程描述：

　　严格地说，在机网暂态过程中，机械角速度ω是一个随时间改变的变量。但在一个很小的仿真时步［（t－Δt），t］内，其变化的速率要远远小于磁链、电流和电压等电磁变量的变化速率，因此可以近似地认为，在时步［（t－Δt），t］内，ω是一个常数。这样，式（3）在形式上与文献［2］中三相电感元件在dqo坐标系下的电压方程是一样的，仿照文献［2］中的推导，采用“先求通解，再用梯形法求积”的方法（注：文献［2］只介绍了这一特定的差分格式，并未给该差分格式命名），可以得到如下关于无阻尼绕组同步电机的电压方程的差分格式：

　　以往直接采用隐式梯形法将同步电机的电压方程（1）差分化，直轴电压差分方程与交轴电压差分方程间的耦合不可避免。现在采用“先求通解，再用梯形法求积”的方法对同步电机的电压方程（1）进行差分化，在所得到的如式（4）所示的差分格式中，由于_d（t）和_q（t）是由上一仿真时步（t－Δt）时的电压和磁链按式（6）决定的，是已知量，因此，时刻t的直轴磁链ψ_d（t）只与同一时刻的直轴电压u_d（t）有关，而与该时刻的交轴电压u_q（t）无关；同样，时刻t的交轴磁链ψ_q（t）也只与同一时刻的交轴电压u_q（t）有关，而与直轴电压u_d（t）无关。这就是说，直轴电压差分方程与交轴电压差分方程之间是解耦的。
3　直轴和交轴瞬态等值电路
　　将式（2）中关于直轴绕组的磁链方程改写成如下形式：

ψ_d（t）＝M_af［i_f（t）－i_d（t）］－L_dσi_d（t）＝　

M_adi_ad（t）－L_dσi_d（t）

ψ_f（t）＝L_fσi_f（t）＋M_af［i_f（t）－i_d（t）］＝　　　　

L_fσi_f（t）＋M_adi_ad（t）（7）

L_dσ、L_fσ和M_ad分别是定子等效直轴绕组的漏电感、励磁绕组的漏电感和等效直轴电枢反应电感。由式（4）（5）和（7）可以得到以等效电阻和等效电压源表示的无阻尼绕组同步电机的直轴瞬态等值电路，如图1所示，该等值电路也可以用等效电导和等效电流源来表示，如图2所示。

图2　以等值电导和等值电流源表示的d轴瞬态等值电路

　　从式（2）中关于交轴绕组的磁链方程及式（4）和（5）可以直接得到交轴瞬态等效电路，然而，为与直　　轴瞬态等效电路对称起见，笔者建议将定子等效交轴绕组的电感拆成两个部分，分别对应于等效交轴绕组的漏电感（其数值可取为与直轴绕组的漏电感相等）和等效交轴电枢反应电感，即

L_qσ＝L_dσ＝x_dσ／ω

　　M_aq＝（x_q－x_dσ）／ω（9）

　　这样，式（2）中关于交轴绕组的磁链方程便可以改写成如下形式：

ψ_q＝M_aq［－i_q（t）］－（L_q－M_aq）i_q（t）＝M_aqi_aq（t）－L_qσi_q（t）（10）

　　由式（4）（5）和（10）可以得到以等效电阻和等效电压源表示的无阻尼绕组同步电机的交轴瞬态等值电路，如图3（a）所示。该等值电路也可以用等效电导和等效电流源来表示，如图3（b）所示。

图3　q轴

图2和图3（b）中的等效电导如下：　　　

（12）　

　　图2和图3（b）所示的直轴和交轴瞬态等值电路的基本结构与EMTP中同步电机的瞬态等值电路相似。然而，在EMTP的直轴和交轴等值电路中分别串联有旋转电势E_d（t）＝－ωψ_q（t）和E_q（t）＝ωψ_d（t），在进行时刻t的仿真计算时，它们均是未知量，需要根据前两步仿真计算的结果进行预估，当仿真步长Δt较大时，会导致仿真误差的增大和仿真算法的不稳定。而在新的同步电机模型及其上述等值电路中，没有任何需要预估的电磁变量，因此，根据上述瞬态等值电路进行暂态过程的仿真计算，即使仿真步长取得稍微大一些，也不会出现算法不稳定的问题。
4　算例
　　设以标幺值表示的无阻尼绕组同步发电机的参数如下^［3］：x_d＝1．0，x_q＝0．6，x^′_d＝0．3，x_dσ＝0．15，r_a＝0．005，T^′_do＝5．0s，额定功率因数为0．85，暂态过程中励磁系统和机械系统的调节作用略去不计，即假定在整个暂态过程中励磁电压和发电机的角频率保持为故障前的数值，采用本文介绍的同步电机模型分别对以下3种故障的暂态过程进行仿真计算，仿真步长均为0．25ms：

故障1：空载运行时在机端发生突然三相短路；

故障2：满载运行时在机端发生突然三相短路；

　　故障3：满载运行时在机端后x_e＝0．5处发生突然三相短路。
　　以上均假设当发生短路时，转子恰好运行到其轴线与定子a相绕组的轴线重合的位置。仿真计算得到的关于定子a相电流i_a（t）和转子电流i_f（t）的结果如表1和表2所示。为了检验该同步电机暂态模型的正确性，在表中还给出了3种故障下采用解析法得到的故障电流的理论值^［3］，以资比较。此外，对于故障1，表1中还给出了采用EMTP模型按照不同的仿真步长进行仿真计算的结果，以资比较。
　　从仿真计算结果可以看出，按照上述关于同步电机的瞬态等值电路模型进行仿真计算，无论对于哪一种类型的故障，其结果都是稳定的，计算精度也很高，当仿真步长取0．25ms时，总体的计算误差不超过0．1％，能够满足工程的实际需要。而当采用EMTP模型进行仿真计算时，仿真结果随所取的仿真步长而改变，如果步长取为0．25ms，当仿真进行到300ms以上时，计算结果已严重偏离其理论值，仿真误差超过5％。工程中要求考虑的暂态过程持续时间达到几秒钟以上，随着仿真计算的继续，这一误差迅速扩大。如果要控制EMTP模型的仿真误差，　　使其与本文介绍的模型处于同等水平，则需将仿真步长减小到0．10至0．05 ms，这就会成倍地增加仿真的计算量和计算时间。