基于绕组函数的凸极同步电机电感参数计算

0　引言

以单个线圈来讨论电机，可以相当灵活地处理定、转子绕组的各种内部故障以及其他运行问题，因此单个线圈电感的精确计算就成为分析电机运行性能的关键^［1，2］。通常电感的计算包含2部分：一是对应于漏磁场的漏电感的计算；另一部分是对应于气隙主磁场的主电感的计算。一般认为漏电感是与转子位置无关的常数，这里不讨论。本文主要研究电感中占主要部分的气隙主电感的计算。由于凸极同步电机的气隙是非均匀的，转子旋转时将引起磁路磁阻的变化，相应主电感的大小也会改变；同时，在单个线圈通电流的气隙磁场中包含有各低次和分数次谐波，在电感的计算中需考虑各次谐波磁场的影响。这些因素增加了准确求取电感的难度。文献［1］应用气隙磁导的概念和谐波分析的方法，以单个线圈为基础计算了凸极同步电机的主电感参数，是一种值得借鉴的思路。
本文在分析单个线圈磁势分布的基础上，通过引入绕组函数的概念，建立了凸极同步电机定子绕组单个线圈电感计算的通用算法。分析时忽略铁心的磁滞和涡流效应；不考虑铁心磁阻的非线性，并将铁心磁阻归算到气隙中，需要考虑铁心饱和效应时，可以根据电机的运行条件通过适当选择参数值的方法来修正；电机的齿槽效应以气隙卡氏系数表示，即认为定、转子表面光滑，只是气隙增大了一些。

1　单个线圈的磁势和绕组函数

1.1　单个线圈的磁势
设有一匝数为W_k的单个线圈位于相距θ_ym(机械弧度)的2个槽中，当电流i_c通入此线圈时产生矩形波磁通势，如图1所示。

图1　单个线圈的磁势波
Fig.1　Magnetomotive force diagram of a coil

对这个磁势波在整个电机圆周进行Fourier级数分解，可得

　(1)

式中　,为υ对极谐波的短距系数。
只要k_yυ≠0，在单个线圈的磁势波中将包含所有极对数为整数的谐波。
1.2　单个线圈的绕组函数
由电机绕组和电机学有关知识可知^［3，4］，绕组磁势的幅值仅由绕组电流的大小决定，而磁势的空间分布规律则完全取决于绕组匝数在空间的分布。所以，当去掉电流因素而只考虑绕组匝数相对于选定参考点的分布时，就可以得到单个线圈的绕组函数WF(θ)。图2为对应于图1所示单个线圈的绕组函数，图中。将绕组函数写成级数表达式为：

　(2)

图2　单个线圈的绕组函数
Fig.2　Winding function diagram of a coil

如果线圈中心轴线相对于参考坐标系原点的机械角度为θ_c，则绕组函数的表达式为：

(3)

2　定子绕组单个线圈主电感的计算

P对极凸极同步电机定子绕组单个线圈编号与定子槽编号相同，以定子第0号线圈的轴线作为坐标原点，则第i号和第j号线圈的绕组函数为：

(4)

式中　α_s为定子槽距角（机械角度）。
因θ=x+γ，其中x为建立在转子上的坐标，且以转子直轴为坐标原点，γ为转子位置角，所以式（4）可变为：

　　(5)

根据定义，两线圈之间的互感为线圈i通过单位电流时所产生的与线圈j相交链的互感磁链，其大小与2个绕组的匝数乘积以及互感磁通所经路径的磁导成正比。所以第i号和第j号线圈的主互感为：

(6)

式中　L_eff为铁心的有效长度；r_i为定子内圆半径；λ_δ为单位面积的气隙磁导，称为导磁系数。
凸极同步电机的气隙不均匀，所以气隙磁导不是常数，它与气隙相对转子的位置有关。由于凸极同步电机的N极、S极总是成对出现，且每个极下的气隙情况相同，所以导磁系数可以表示为：

　(7)

其中　l=1,2…，为导磁系数的谐波次数；导磁系数各次谐波分量的计算参见文献［1］。
将式（5）、式（7）代入式（6），并根据机械角度和电角度的关系进行适当的变量置换，经整理后得：

(8)

式中　;,为k次谐波的短距系数，θ_y′为线圈跨距的电角度；α_s′为定子槽距角的电角度。
对于式（8）中

(9)

(10)

式（9）中第1项积分为0；第2项只有当k=k′时，积分不为0，且有式(11)成立。

　(11)

式（10）中第1项积分为0；第2项只有当k+k′=2l时积分才不为0，且有式(12)成立。

　(12)

式中　。
因为式(12)中第2项和为0，所以

　　(13)

式（10）中的第3项、第4项只有当|k-k′|=2l时积分才不为0，且有

　(14)

式中　。
对式（14）进行和差化积后可得：

　　(15)

由式（11）、式（13）和式（15）可得定子绕组两线圈主互感的表达式为：

　(16)

式中

　(17)

　(18)

其中　，为极距。
由式（16）可知，定子绕组单个线圈间主互感的表达式为一偶次项余弦级数。当转子磁极轴线处于2个线圈的中间位置时，即，互感的绝对值最大，这是符合物理意义的。当i=j时，式（16）就是单个线圈自感的表达式。转子绕组的电感和定、转子之间的互感按照以上方法可以得出，限于篇幅，这里不再详述。有了单个线圈的电感，根据电机故障或正常运行时回路绕组的连接关系组成相应的回路参数，可用于分析电机各种运行状态下的性能。

3　定子单个线圈电感的计算实例分析及简化表达式

根据式（17）和式（18）可以分析各次谐波对电感参数的影响程度，以SF125—96/15600凸极同步发电机为例，图3给出了只计基波（k=1，P对极）时定子第0号线圈与顺序第i号线圈互感常数项与槽号的关系曲线，该电机为分数槽绕组，每极每相槽数为2＋3/4。此时互感常数项随槽号的变化关系呈余弦函数形式，这与物理概念是相符的。

图3　只计基波时定子第0号线圈
与顺序i(0～32)个线圈互感的常数项
Fig.3　Constant terms of mutual inductances
between the 0-th and the i-th coil
of stator only considering the space first-harmonic
of magnetomotive force

由式（17）和式（18）可知2个线圈间互感的常数项和各偶次项系数为一无穷级数，谐波次数取值的多寡将直接影响到互感计算的精度。图4为定子第0号线圈与第y号线圈的互感常数项与最高谐波计算次数取值的关系，其中y为定子线圈节距（以槽数表示），该凸极电机y=7。从图中可见，互感表达式级数相应项随谐波计算次数的增加衰减较慢，所以，为了保证电感的计算精度，必须计算到较高次谐波。同时，经过分析发现在一定的精度要求下不同的电感参数其最高谐波计算次数的取值也不同。这就产生了一个问题，在实际计算中谐波计算次数究竟取到多少才算满足参数计算精度，换句话说，有没有一种方法能把所有次谐波都考虑进去。答案是肯定的，下面我们以定子单个线圈间互感常数项的计算为例进行说明。

图4　第0号定子线圈与第y号线圈的气隙互感常数项
和最高谐波计算次数取值nmax的关系
Fig.4　The relationship of constant terms
of mutual inductances between the 0-th
and the y-th coil of stator with the given
highest space harmonics nmax of magnetomotive force

根据前面绕组函数的定义，定子第i号线圈的绕组函数也可以写成如下形式：

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