电力系统稳定器的最优鲁棒设计

0　引言

电力系统稳定器(PSS)可以阻尼发电机间的机电振荡^［1］。近年来，已先后有多种控制方法用于PSS设计，如最优控制^［2］、模式分析、根轨迹灵敏度分析或几种方法的组合应用^［3］等。这些方法常常着重于单个额定运行点的考虑，而不计系统运行的鲁棒特性。因此，对于像电力系统这样的高度非线性系统，难以保证其在较宽运行范围内的稳定性。尽管基于自适应控制^［4］、神经网络^［5］设计的PSS可进行在线调整，但电力公司仍偏爱固定结构、固定参数的控制器，其主要原因仍是对在线调整方案信心不足^［6］。因此，研究具有鲁棒特性的固定结构和参数的控制器仍有实际意义。
H_∞优化方法的主要优点在于能在设计阶段计入模型的不确定性，已应用于PSS设计^［6～9］及可控串联补偿器(TCSC)的辅助控制器设计^［10］，但若直接使用传统的H_∞算式则仍有以下困难：
a.对系统不确定性模拟的限制；
b.由于零极点互消使得某些模式不可观测；
c.限制了不确定性及约束条件的恰当考虑。
文献［10］中虽然克服了b项，但带来一对弱阻尼极点^［7］。文献［7］解决了a，b两项，但控制器性能仅为次最优。文献［6,8,9］中解决了c项，但在设计阶段对不确定性不可控制^［6,8］，且文献［6］中所得的非最小化相位控制器由于实际应用中的稳定性问题而不可接受；而文献［9］中的方法则在控制器设计阶段需要较多的状态信息。
由于并无同时解决上述3项限制的满意方法，本文采用组合算式：分子—分母双扰动模拟、部分极点配置及新的加权函数选择法来进行PSS设计，并与传统的采用极点配置方法设计的PSS^［11］进行了性能比较。

1　H_∞混合灵敏度优化问题

在H_∞方法中，对受扰动对象P(s)的不确定性模拟常采用加法及乘法形式表达，如式(1)。当W₃(s)=0时为加法形式；W₂(s)=0时为乘法形式。

(1)

其中　‖Δ_A(s)‖_∞≤1；‖Δ_M(s)‖_∞≤1；W₂(s)和W₃(s)表示可允许的扰动上界；P₀(s)表示原对象。
由混合灵敏度优化算式，可以通过最小化式(2)中J的方法得到最优H_∞控制器，

(2)

其中　W₁(s)表示可接受的对象输出偏差量；S(s)为闭环系统的灵敏度函数；K(s)为控制器函数。
当以ω作为扰动信号时，如图1所示。

图1 传统设计方法中含有控制器的扩展对象
Fig.1 The augmented plant with comtroller for the conventional design metheod

式(2)中J的优化可借助于软件库^［12］完成。当J的最小值不超过1时，该控制器可以稳定式(1)表达的所有受扰动对象。但若直接使用该方法进行PSS设计，则会遇到以下限制：
a.当系统的稳定性发生变化时，限制了不确定性的正确模拟。由于假定式(1)中的Δ_A(s)，Δ_M(s)，W₂(s)，W₃(s)是稳定的，受扰动对象在右半平面的极点数将与原对象一样多。即当原对象受扰动后由稳定变为不稳定，或由不稳定变为稳定时，这些传统模型难以准确地表达系统的不确定性^［13］。而电力系统的稳定极点在受到扰动后完全可能变为不稳定，尤其对于振荡模式。
b.由于零极点互消而使某些模式不可观测。由控制器和原对象构成的闭环系统的极点将包括稳定极点和镜像的不稳定极点。若原对象带有弱阻尼模式，则该模式将与控制器的零点互消，从而在特定的输出中变成不可观察。由于电力系统的机电模式常常靠近于虚轴，零极点互消现象成为PSS设计中的一个严重问题。
c.限制了不确定性及约束条件的恰当考虑。电力系统运行方式的变换是引起不确定因素的原因之一，而鲁棒性的PSS的设计则是为了在较宽的系统运行条件下为振荡模式提供阻尼。在传统的H_∞设计中，式(1)描述的是一个虚拟对象的不确定性模型。混合灵敏度优化算法也是系统鲁棒性与稳定性恶化之间的一个折中。在对虚拟系统进行稳定的同时降低了实际系统的性能水平。而且传统的H_∞设计方法不能计及某些约束。例如，由于发电机模型中没有检测转子的扭动模式，在速度输入型PSS设计中无法计及高频下的增益限制。

2　本文H_∞的PSS设计方法

2.1　分子—分母双扰动模型
为了便于解释，文中用的是单输入、单输出模型，但该方法也可扩展到多输入、多输出的系统。对于具有传输函数P(s)的一个对象，

(3)

其双扰动模型为：

(4)

其中　N₀(s)和D₀(s)分别为原对象的分子、分母；M(s)Δ_N(s)W₂(s)，M(s)Δ_D(s)W₁(s)为扰动项；M(s)W₂(s)，M(s)W₁(s)为最大可能的扰动值；Δ_N(s)，Δ_D(s)的值不超过1。
取V(s)= D^-1₀(s)M(s)后，可得以下不等式：

(5)

V(s)，W₁(s)及W₂(s)也可以认为是图2中扩展对象的加权函数，由此而得的最优H_∞控制器可以通过对式(6)中的J最小化得到，此时，并不要求原对象P₀(s)与受扰动对象P(s)有相同数目的稳定极点。

图2 本文设计方法中的带控制器的扩展对象
Fig.2 The augmented plant with controller for the proposed design method

(6)

2.2　部分极点配置
由混合灵敏度问题式(6)的解，可得以下特性：

(7)

其中　λ为非负常数^［14］，暗含着：

(8)

可以将对象P、控制器K、加权系数W₁与W₂及V写成比例形式：P=N/D, W₁=A₁/B₁, W₂=A₂/B₂, V=M/E, K=Y/X，所有分子、分母均为s-域多项式。
灵敏度函数S也可表达为S=DX/Dcl。其中Dcl=DX+NY，为反馈系统的闭环特征多项式。将S代入式(8)后得到：

(9)

上标“～”是一种简化表达，即当F(s)为式(9)中的任一多项式函数时，F^~(s)=F(-s)。
由于式(9)的右侧恒定，左侧分子、分母中的所有因子都会约去。不失一般性，假设M^~M与E^~EB^～₁B₁B^～₂B₂之间并不可约，只具有左半平面极点的M将约去Dcl部分因子。如此选择M的方法等值于为配置M的根在复平面上的位置而重新指定开环系统的极点(即D的根位置)，也就是所谓的部分极点配置技术^［15］。若不用V，而且D^~D与B^～₁B₁B^～₂B₂之间不可约，则D^~D必被D^～clDcl的部分因子约去。因此，闭环极点(Dcl的根)将包括D的稳定根及位于左半平面的镜像不稳定根。从而使开环系统的弱阻尼模式仍出现在闭环系统中。
2.3　加权函数的选择
W₂(s)在控制器设计中起罚函数作用。较大的W₂(s)值导致较小的PSS增益。对W₂(s)相位的合理选择将有助于控制器从正确方向对实际对象及不确定性的控制及处理。图3中，从PSS输出ΔEpss到电磁转矩ΔP_e的传递函数定义为G(s)^［3］。为了使ΔP_e与转速偏差ΔΩ同相以保证正的阻尼转矩，PSS的输出应具有超前相位以补偿G(s)的滞后。G(s)的相位可由文献［3］中讨论的方法得到。由于机电振荡频率的分布大致在0.7 Hz～2　Hz，W₂(s)应提供足够的滞后相位，以便PSS在该范围内的相位足够超前。但过多的PSS相位超前将导致负的同步转矩分量^［16］。因此，本文采用大约10°左右的欠补偿，从而确定出W₂(s)的相位。
应该注意的另一问题是，W₂(s)的增益及W₁(s)的选取应满足式(5)，以便为不确定性定界。
为预防与转子扭动模式间的相互影响，也应限制PSS的高频(约7　Hz)增益。如果必要，也可调节W₂(s)的高频增益。
尽管加权函数的选取已保证了正确的调整方向，但所设计的控制器可能仍不能保证虚拟对象式(4)的稳定，且可能与实际对象有完全不同的动态特性。因此文献［9］使用了罚因子。使用罚因子后，J的最小值大于1，不满足最小增益理论的要求，但系统却稳定，且有良好的动态性能。可见“J＜1”仅为一充分条件而已。

3　基于H_∞方法的PSS设计

3.1　系统构成
电力系统及详细模型在文献［8］中给出。采用6阶发电机模型、1阶原动机及励磁系统模型，并由此形成状态方程，计算出所有特征根λ=σ±jω。系统的稳定特性由阻尼比来评估。图4所示为P，Q及X_e变化的多运行方式下的阻尼比分布。原始系统(无PSS)呈弱阻尼特性，尤其当X_e较大或负荷较重时更为明显。因此，本文采用速度输入型PSS来改善系统的阻尼。

图4　机电模式的阻尼比分布
Fig.4　Damping ratio of the electromechanical mode

3.2　传输函数
在原始运行点处，P=0.8，Q=0.2，X_e=0.5，加扰动后得其它运行点。原对象的传输函数(从ΔEpss到ΔΩ)为式(10)：

(10)

原系统特征根为-0.12±j7.07，-11.44±j2.31，-44.82，-22.13，-3.6及-1.8。极点配置后，对象简化为式(11)的P′(s)。P(s)和P′(s)的频率响应如图5所示。

(11)