解析法计算任意形状薄钢板的涡流损耗

刘志珍　励庆孚　王美琴
西安交通大学电气工程学院　710049

1　前言
　　在大型电力变压器设计中，确定箱壁、夹件、拉板等结构件的杂散损耗是至关重要的。由于涡流常常集中在这些结构件表面一薄层内，而变压器整体尺寸较大，因此使用有限元法求解时，不但计算量大，而且比例差距较大的剖分单元会导致较大计算误差^［1，2］；文献［3，4］用解析方法计算了形状规则的结构件中的涡流分布及损耗，但由于方法本身受到许多假定的限制，计算误差也较大。本文在文献［3］的基础上提出一种适应于计算任意形状薄板涡流的解析法，其中用基因遗传算法结合Powell优化法确定待定系数，即先用遗传算法对多元函数进行优化，找到一个初步最优解，然后把该最优解作为初始点，用Powell法最后寻优，这就克服了遗传算法接近最优点时收敛速度慢和Powell法对多峰函数找不到最优解的问题，并且该优化方法能保证足够的计算精度。最后对TEAM Problem 21(Model B)进行了计算，与测量值的比较证明了本文方法优于文献［3］中的方法。

2　遗传算法结合Powell法确定待定系数
　　在直角坐标系中，钢板中的磁场满足扩散方程

　　　　　　　　　　　　　　(1)

式中　ω——角频率
μ——材料的磁导率
σ——材料的电导率
当然上式也可以写成三个分量的形式。
　　该解析法的前提是必须首先求得薄板表面网格点激励场的法向分量，这一步一般需用数值法如本文采用的样条积分方程法^［5］计算得到，如图1所示。对于任意分布的上表面法向磁密，都可以用下面的双重傅里叶级数进行逼近^［6］
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)
式中　A_mn，B_mn，C_mn，D_mn，P_m，P_n——待定系数

图1　薄板示意图
Fig.1　Thin plate model

　　设B′_z(x_i,y_j)(i=1,2,…,nx;j=1,2,…,ny)为上表面网格点的已知法向磁密值，则在所有网格点上的误差平方和为

　　　　　　　　　　　(3)

　　如果式(3)中的待定系数利用最小二乘法确定^［3］，不但方程组推导繁琐，而且解非线性超越方程组的代价较大，势必造成结果的不精确。本文采用遗传算法^［7］结合Powell优化法决定待定系数，运算速度快且计算精度高，其优化程序流程框图见图2所示。

图2　优化程序框图
Fig.2　Optimization program diagram

3　涡流分布及损耗公式推导
　　以TEAM Problem 21(Model B)为例推导涡流分布及涡流损耗公式，见图3所示。模型B由一块钢板和两个线圈组成，两个线圈的电流方向相反，安匝数都是3000A(有效值，50Hz)，钢板的电导率为5.8751e+6S/m,详见文献［8］。

图3　模型B示意图
Fig.3　TEAM Problem 21(Model B)

　　样条积分方程法求解钢板表面磁场的精度足以满足工程要求，经过分析知道钢板上表面磁场分布关于x轴、y轴对称，因此可选用下面的双重傅里叶级数逼近

　　　　　　　　　　　　(4)

　　这样，利用上述的方法可以求出式(4)中的待定系数A_mn，u、v。根据透入深度概念^［9］，对钢板中任意一点，都能找到满足B_z(x,y，z)分量方程(1)中的一个解
　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(5)
式中　
利用divB=0,J_z｜_z=0,h=0(即有),得到
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(6)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(7)
式中　
　　根据Δ×H=J有
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(8)
　　把方程(5)、(6)、(7)代入式(8)得到涡流分布
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(9)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(10)
　　J_z=0(边界条件)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(11)

式中　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　矩形板的涡流损耗为

　　　　　　　　　(12)

4　计算验证
　　利用上面推导的公式对TEAM Problem 21 (Model B)进行了计算。钢板剖分成748个单元，计算的涡流损耗为12.33W，测量的总损耗为11.75W，涡流分布见图4，与文献［8］相吻合。而用文献［3］计算的涡流损耗为13.88W，由此可见，本文方法计算结果更精确。

图4　矩形钢板内的涡流分布
(a)z=0.1mm　　(b)z=9.9mm
Fig.4　Eddy current distribution within rectangular plate

5　结论
　　本文提出的方法不受钢板形状的限制，表面磁密的法向分量可以呈任意分布，用双重傅里叶级数进行逼近，待定系数由遗传算法结合Powell法确定，具有较高的精度；以TEAM Problem 21 (Model B)为例推导了涡流公式并对其做了计算验证，计算值与测量值吻合很好。

　

参考文献
　1　Holland S A，O′Connell G P,Haydock O L.Calculating straylosses in power transformers using surface impedance with finite elements.IEEE Trans.on Mag.1992,28(2)
　2　王建民，周文涛.大型电力变压器漏磁场及附加损耗的研究.华北电力大学学报，1997，24(1)
　3　Szabados B,Mahas I EI,Sobki M S EI.A new approach to determine eddy current losses in the tank walls of a power transformer.IEEE Trans.Power Delivery,1987,2(3):810～816
　4　Ivonimir Valkovic.Calculation of the losses in three phase transformer tanks.IEE Proc.,1980,127C(1):20～25
　5　钱秀英，邱捷，张燕.样条积分方程法计算变压器三维非线性漏磁场.西安交通大学学报，1996，30(12)
　6　王仁宏.多元函数逼近.北京：科学出版社，1987.
　7　刘勇，康立山，陈毓屏.非数值并行算法——遗传算法.北京：科学出版社，1997.
　8　程志光，胡启凡，高生等.模拟三维杂散损耗的第21国际基准问题.中国电机工程学报，1995，15(3)：150～158
　9　Poritsky H,Jerrard R P.Eddy current losses in a semiinfinite soild due to nearby alternating currents.AIEE trans.,1954,97～106

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