节点PV曲线的快速求解方法

0　引言

PV曲线的确定在电力系统电压稳定的研究和分析中相当重要，而寻求PV曲线的极值点(或电压稳定分歧点)尤为关键。目前分歧点的求解方法如潮流多解法、非线性规划法、最大功率法等，作为离线寻找分歧点是成功的，但是从正常运行状态到求出分歧点的过程，都存在计算量过大的问题，因而也影响这些方法的在线应用。近年来许多学者在快速寻找分歧点方面做了许多工作，并取得了不少成果。一种方法^［1，2］是对引入的参变量λ重新参数化，避开了潮流方程的Jacobian矩阵在临界点奇异的问题，并提出了新的测试方程。估算最接近电压稳定极限的另一种方法^［3］是利用潮流多解的特性，用一个新的近似变量组成新的雅可比矩阵，间接避免了潮流方程的雅可比矩阵在临界点奇异的问题。该方法可以找到近似的临界点，由于它需要求取一对电压解，对初值要求较高。采用延拓法^［4］求取PV曲线的拐点，可以避开常规潮流计算中的奇异点，能较准确地找到分歧点。以上方法大大简化了分歧点的求解，但所需计算量仍然较大，从在线应用观点来看，寻求更为简单、计算量更少的快速方法仍十分必要。
本文利用简单网络很容易确定电压稳定分歧点的特点，将复杂网络简化成简单网络。由于简化的结果与运行状态有关，简化所取用的运行点愈接近分歧点，所确定的功率极限就愈接近分歧点功率。因此本文利用简化网络所确定的极限状态作为新的运行状态逐渐逼近分歧点，当求出两三个运行点后，再利用拉格朗日插值方法，确定出复杂网络的分歧点附近值，进一步搜索就很容易求出实际分歧点来。算例研究表明，本文提出的方法简单、实用、快速，在此基础上以插值求得结果很接近实际分歧点，因此在电力系统在线应用上有明显的优势。

1　网络简化方法

简单网络如图1所示，当负荷P₂，Q₂变化，使得V₂=ΔV₂(或Z=Z_L)，即负荷与线路上的阻抗(或功率)“匹配”时，可获得的最大功率为：

(1)

可见，确定简单网络的极限功率很简单、方便^［5］。

图1　简单系统
Fig.1　Simple system

对某一复杂网络，简化成为如图1所示的简单网络是很容易做到的，其简化过程就是对

YV=I

(2)

的网络方程进行高斯消去。若设电源点即平衡节点号为N，所研究节点号为N-1，当利用高斯消元法将节点1至节点N-2消去后，所剩下的导纳矩阵就对应着两节点的简化网络，如图2所示。

图2　简化网络
Fig.2　Simplified network

图中Y_N,N-1=-y_L,Y_N-1,N-1=y_L+y_L0,S_N-1为节点N-1原负荷,S(I)为消元过程中移植到节点N-1的负荷(电流)值，其值为：

(3)

(4)

其中　各元素的下标代表其在式(2)的矩阵或向量中的元素所处的位置；上标则代表前代消元过程中第几次消元后的结果。
用高斯消元法可将复杂网络简化成图2所示简单网络。需要注意的是图1中的Z_L与图2中的y_L不是对应关系，与_N也不相等。Z_L应为图2中y_L,y_L0和S(I)支路阻抗的并联值。由于S(I)随负荷值的变化而改变，则等效的Z_L也改变，自然，一旦S(I)确定，则Z_L的值也就确定了。若要求得确定的S(I)值，必须在某一确定的潮流状态下进行，该状态可由牛顿法或其他潮流方法求取。
2　简化网络的PV曲线特点及其快速求解
以高斯消元法进行方程(2)的网络化简。其中注入量是电流，而电力系统实际注入量是功率，因此，高斯消元中负荷的伴随运算改变量(或称负荷移植)必须在某一确定的潮流状态下进行。对这一状态的简化网络自然与复杂网络在这一确定状态下有相同的节点电压解。当负荷S_N-1变化时，由简化网络所得到的解与复杂网络的实际解就不一样了。这是因为简化网络的S(I)是不变的，而实际上当负荷S_N-1改变时各节点电压也随之改变，使得各节点功率转换成的电流量不同(恒电流注入点例外)。所以由简化网络方法确定的功率极值与复杂网络所确定的极值不一样。实际上，方程的简化对线性网络而言(即对电压、电流而言)是等效的。而复杂网络所包含的是节点功率，使得网络方程非线性化了。因此从功率角度看，简化是不等效的。
但是大量计算结果表明，简化网络所确定的功率极限虽不是复杂网络的极限值，但总是略小于复杂网络的实际极限。而且当简化是在状态接近PV曲线的分歧点时，这一简化网络所确定的功率极限就更接近实际极限。分别按不同的潮流点确定的简化网络，其对应的PV曲线分别示于图3中。

图3　对应某一状态简化网络的PV曲线
Fig.3　The PV curves corresponding to certain state
for the simplified network

由图3可见，A点确定的简化网络的PV曲线的特征是：该PV曲线的功率极限一般比原网络的极限小；该PV曲线与原网络的PV曲线相交于A点；该PV曲线A点前的相应电压值比原网络要高，而在A点后的电压值要比原网络小。
图3所示为示意图，实际上，简化网络所求得的功率极限都比较接近实际分歧点功率，只是曲线2所对应的解极限更为接近些。
由图3可以这样假定，以A点潮流确定的简化网络求得其极限功率，将此功率代入到原网络求得实际B点的潮流，再以B点状态确定对应该状态的功率极限并求得C点的潮流，如此反复进行下去，则可以最终确定出复杂网络的功率极限。为节省重复进行的次数，当已知A，B，C三点后可用二次函数插值方法求出D点，计算表明，D点相当接近实际的分歧点极限功率。由A，B，C，D可以很方便地求出复杂网络节点的PV曲线的分歧点上半部分。
按照这一想法，节点PV曲线的快速寻找方法步骤如下：
a.将复杂网络简化成仅保留电源(平衡)节点和待研究节点的简化网络。
b.将正常运行状态A(见图3)代入简化网络(见图2)，利用简单网络求功率极限的方法找出对应状态的功率极限S_max′，作为待研究节点新的注入功率。
c.将S_max′代入原网络，利用最重负荷节点导纳模型^［6］求对应的潮流解B。
d.按上述方法用B状态确定功率极限S_max″，并求出潮流解C。
e.以A，B，C对应的潮流解，利用拉格朗日插值方法，求出D点为图3中曲线3顶点的附近值。
f.连接ABCD即为该节点的PV曲线的上半部分。
这一方法只需求两次潮流和一次插值即到达分歧点附近值，它很接近实际的电压稳定分歧点。由图3可知，这一方法所确定的功率增加的步长是不一样的，远离分歧点时确定的功率增加步长大，接近分歧点所确定的功率增加步长小。因此实现了以变步长方法快速寻找电压稳定分歧点。这样确定的3个运行点反映了实际PV曲线的上半部分变化的二次函数曲线的规律。因此，由它们进行拉格朗日插值，可得到很靠近分歧点附近的值。

3　求解方法的讨论

网络简化就是将电源(平衡)节点及待求节点除外的网络简化成如图4所示。由于采用高斯消元法消去节点，因此简化过程是星—网变换的过程。由于网络中各节点含有功率负荷，所以在网络变换中包含了负荷的移植。最终的网络简化部分应变成简单π形网络，且两端点含有负荷移植量。由于节点j和N最终相连，故j端负荷和对地支路功率直接由电源供给，它与节点N-1的PV曲线无关，则所研究节点的PV曲线的简化网络如图2所示。当负荷以电流注入时，方程(2)是线性的，当负荷以功率表示时，方程(2)不是线性的，故移植到i点的负荷量与简化时所取用的潮流状态有关。不同的状态引起各节点电压值变化，S(I)也随之改变。因此，若对图4中虚线框部分应用戴维南定理，则等效的电源电压及内阻也随着S(I)的变化而不同。

图4　简化网络示意图
Fig.4　Schematic diagram of simplified network

按简单网络求分歧点的功率极限原理，这一功率极限大小取决于图1的电源电压V、线路阻抗Z_L和阻抗角θ以及负荷的功率因数角(式(1))。其中简化过程中引起Z_L的变化是关键，若Z_L简化后变大，则简化网络的节点功率极限变小，Z_L变小则简化网络的功率极限变大。按照本文所采用的方法，Z_L应变大才能实现。以下分析说明简化网络造成电源与节点之间的阻抗(或导纳)改变的情况。
由于高斯消元法消去节点的过程包含负荷移植和网络化简，可以通过比较负荷移植前后网络损耗的变化来了解负荷移植前后网络所产生的功率损耗是否一致。首先比较图5所示简单3节点系统负荷移植前后所产生的功率损耗是否一样。

图5　负荷移植前后的3节点网络
Fig.5　Three-bus network before and after
loads transferring

设化简前S的等效电流为。为简单起见，假设只考虑节点2有负荷存在，则S在节点1、节点3之间产生的功率损耗为：

(5)

将负荷S移植到节点1和节点3，则电流移植到节点3的电流为₃，它在节点1和节点3之间产生的功率损耗为：

(6)

把₃=Z₁₂/(Z₁₂+Z₂₃)代入式(6)，并化简得：

(7)

比较式(5)与式(6)，可知ΔS＞ΔS′。式(7)也可以写成：

(8)

式中　θ₁为Z₁₂的阻抗角；Y_Σ为Z₁₂和Z₂₃的并联导纳。
再看星形网络负荷移植时网络损耗的变化。向星形网络供电可分为3种情形：一端点向中点及另两端点供电；两端点向中点及另一端点供电；三端点向中点供电。
现以第1种情形为例(如图6所示)进行分析。

图6　星形网络
Fig.6　Y-type network

设网络为由节点1向中点和节点2、节点3点供电，为简单起见，设网络只在中点有S负荷，S负荷的等效电流值为。移植前的网络损耗为：

ΔS=Z₁I²

(9)

将负荷S移植到节点1、节点2和节点3的电流分别为₁，₂和

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