一种考虑磁滞可逆性的非线性矢量Preisach模型

1　引言

经典Preisach模型^［1］虽然可以描述磁滞现象中磁化过程的高阶微小回线，但由于其单元磁滞算子只有两种可能取值，故不能对磁滞的可逆性进行有效的描述。 Mayergoyz提出的矢量Preisach模型^［2］虽然在处理媒质的各向异性问题上得到了很好的应用，与传统的Stoner-Wolhfarth(S-W)模型^［3］相比具有很多优点，但Mayergoyz的矢量Preisach模型是以经典Preisach模型为构成模块，可以看成是经典Preisach模型沿所有可能方向分量的迭加，因此它保留了经典Preisach模型的一些缺陷：如同余特性要求过于严格，不能描述磁化过程的可逆行为等。
Mayergoyz的非线性标量Preisach模型包含了磁滞非线性的完全可逆分量，且放宽了经典Preisach模型对同余特性的一些限制^［4］，该模型在预计高阶回转曲线的准确性上比经典Preisach模型有很大的提高。本文以Mayergoyz的非线性Preisach模型为构成模块，推导出一个包含磁滞可逆行为的矢量Preisach模型。

2　模型的提出

非线性标量Preisach模型可以表示为

alt="4.1.gif (2115 bytes)">(1)

式中　H(t)与M(t)分别为磁场强度和磁化强度，μ［α，β，H(t)］与r(α)为Preisach分布函数, src=http://www.lodestar.com.cn/files/wxzgdjgcxbzgdj20000001image1/4.2.gif width=9 height=17 alt="4.2.gif (165 bytes)">_αβ与 src=http://www.lodestar.com.cn/files/wxzgdjgcxbzgdj20000001image1/4.0.gif width=10 height=18 alt="4.0.gif (175 bytes)">为单元磁滞算子。由于矢量磁滞的输入沿所有可能方向分量的过去极值都会影响到输出的未来值，矢量模型可看作是标量模型在所有方向的输出分量的矢量迭加，因此，在极坐标系下的二维矢量模型为

alt="4.3.gif (2848 bytes)">(2)

对于各向同性媒质，上式可简化为

alt="4.4.gif (2742 bytes)">(3)

同样，在球坐标系中考虑可逆磁化分量后的三维矢量模型为

alt="5.1.gif (3941 bytes)">(4)

式(2) 、(3)与(4)中右边第一项代表不可逆磁化分量，第二项代表可逆磁化分量。以上三式就是提出的考虑磁滞可逆性的矢量Preisach模型，由于在分布函数中引入了与输入相关联的项H(t)，因此我们称其为非线性矢量Preisach模型。

3　二维各向同性非线性矢量Preisach模型的证明

非线性矢量Preisach模型的证明问题可以被还原为一个将函数P(α，β)与标量磁滞数据相关联的积分方程进行联合求解，从而确定出模型中的分布函数表达式的问题。
对于二维各向同性媒质，用M^＋_α、M^－_α分别表示沿某一方向上的主回线的上、下分支，对应于输入为α时的输出分量，用M_αH、M_αβH分别表示从主回线上的输入α值作为回转点的一阶、二阶回转曲线上对应于输入为H(t)时的输出值，这可由实验测定。分别取函数F₁(α)和F₂(α,β,H)为

alt="5.2.gif (791 bytes)">(5)
F₂(α,β,H)＝M_αH－M_αβH(6)

另取函数P₁(α)和P₂(α,β,H)，与F₁(α)和F₂(α,β,H)与之间的关系分别为

alt="5.3.gif (1071 bytes)">(7)
face=宋体 size=3>(8)

通常F₁(α)可以表示为α的一个多项式

alt="5.5.gif (758 bytes)">(9)

F₂(α,β,H)可以表示为α、β的一个多项式

alt="5.6.gif (1293 bytes)">(10)

这样，可以得出

alt="5.7.gif (1316 bytes)">(11)
(12)

函数r(α)和μ(α,β,H(t))可由函数P₁(α)和P₂(α,β,H)来确定

alt="5.9.gif (1751 bytes)">(13)
face=宋体 size=3>(14)

因此二维各向同性媒质的矢量Preisach模型可表示为

alt="5.11.gif (4574 bytes)">(15)

4　二维各向异性非线性矢量Preisach模型的证明

对于二维各向异性媒质，将函数r(α,φ)与μ(α,β,H,φ)在区间(－π/2,π/2)内进行有限傅立叶级数展开，得

alt="5.12.gif (875 bytes)">(16)
(17)

现假定沿极角φ_j指定方向进行实验测定

alt="5.14.gif (1107 bytes)">(18)

设M^＋(j)_α、M^－(j)_α表示沿指定方向φ_j对应输入为α时，主回线的上、下分支对应输出值。M^＋(j)_αH、M^－(j)_αβH表示沿指定方向φ_j从主回线上的输入α值作为回转点的一阶、二阶回转曲线上对应输入为H(t)时的输出值，这可由实验测定。取函数

alt="6.1.gif (905 bytes)">(19)
(20)

另取函数P_n(α)与P^′_m(α,β,H)，它与F_j(α)和F^′_j(α,β,H)之间的关系为

alt="6.3.gif (1651 bytes)">(21)
(22)

这里φ^′＝φ－φ_j，将以上两式进行逆向傅立叶变换，通过引入函数

alt="6.5.gif (1464 bytes)">(23)

alt="6.6.gif (1912 bytes)">(24)

可得下面公式

alt="6.7.gif (1394 bytes)">(25)
face=宋体 size=3>(26)

通常Q_n(α)可以表示为α的一个多项式

alt="6.9.gif (829 bytes)">(27)

Q^′_m(α,β,H)可以表示为α、β的一个多项式

alt="6.10.gif (1447 bytes)">(28)

由式(25)、式(26)便可求得P_n(α)与P^′_m(α,β,H)，函数r(α,φ)与μ(α,β,H,φ)可由P_n(α)及P^′_m(α,β,H)来确定

alt="6.11.gif (1134 bytes)">(29)
(30)

将求得的r(α,φ)与μ(α,β,H,φ)代入式(2)即得二维各向异性非线性矢量Preisach模型的表达式。

5　一些讨论

(1)非线性矢量Preisach模型的还原特性
当输入被限制在一个固定方向变化时，非线性矢量Preisach模型可以还原为Mayergoyz的非线性标量Preisach模型，即

alt="6.13.gif (2172 bytes)">(31)

这里分布函数μ(α,β,H(t))和r(α)的表达式与标量模型中的表达式完全相同。
(2)非线性矢量Preisach模型是Friedman通用矢量Preisach模型^［5］的一种特例。
G.Friedman认为，能够包含磁化过程完全矢量可逆行为的通用矢量Preisach模型应具有以下形式

alt="6.14.gif (1892 byte

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