非自治非线性多刚体系统运动稳定性的定量分析——兼论电力系统暂态稳定性(续前)

19　DEEAC

19.1　映象P（δ）曲线的获取
19.1.1　映象P（δ）曲线上的映射点和估算点
多机积分空间中的Pm.k(t)，Pe.k(t)，δ_k(t)只有在每个积分步终点才有确切的值，相应地，单机映象空间中的P_m(δ) 曲线和P_e(δ)曲线也只有在这些离散的时刻才有确切的映象值。称这些点为映射点，所有的映射点必定是积分点。其它时刻的映象值则必须按一定的规律来估计，称这些点为估算点。
为了求取能量变化面积，必须指定相邻映象点之间的P（δ）函数。对此有两类不同的方法，即内插和预报。内插方法只能得到有关映射点之间的函数值，因此每次内插至少需要用两个映射点的信息。预报方法求取的是相关映射点所围区间以外的函数值。预报方法又可分为数值分析预报方法和机理模型预报方法两类。数值分析预报方法不必考虑问题的数学模型而直接利用两个或更多个映射点的信息，而机理模型预报方法根据数学模型进行预报，因此只需要单个映射点的信息。
19.1.2　小步长线性内插和大步长正弦预报
小的映射步长意味着在对应的积分计算中也必须使用小步长，这将大大增加计算量。求取复杂模型多机系统的受扰轨迹时，必须采用足够小的积分步长，例如0.02 s～0.04 s，才能保证受扰轨迹的精度。此时只要将映射步长取得与积分步长一样，在每个积分步终了处进行映射，就可以用线性内插来达到足够的预报精度，并用梯形积分计算动能变化面积。因此，当采用小的映射步长时，线性内插的精度已经足够，不必采用正弦预报而增加计算量，IEEAC就是这样的例子。
当求取简单模型多机系统的受扰轨迹时，大步长积分虽然仍可以满足积分精度，但大步长的线性内插却无法保证非映射点的估计精度。此时必须采用非线性的正弦预报。
19.2　正弦预报的误差
对于非经典模型或非理想两群动态，上述正弦预报必然含有误差。此时，映射点处的P值在积分轨迹的精度含义上，仍严格地反映了映象系统的不平衡功率，而估算点P_e值的正弦预报误差则由复杂模型因素和非两群动态因素引起。预报区间越长，δ(τ) 的展开误差和P_e的预报误差就越大。
在首摆及正向多摆过程中，当ΔP^SEe(δ)为正数时，正弦预报给出的A^SEinc偏小，A^SEdec偏大，因此对稳定性的评估偏冒进；当ΔP^SEe(δ)为负数时，正弦预报给出的A^SE_inc偏大，A^SE_dec偏小，因此对稳定性的评估偏保守（见图93）。要强调的是，情况在反向摆动过程中则恰恰相反。后续章节将详细讨论其规律。

图93　正弦预报的误差方向
Fig.93　The errors sign of sinuous predictions

为了提高正弦预报的精度，除了增加映射点的密度以外，还可以通过去除由时变因素引入的误差来合理修正P_e预报值。
19.3　通过减小映射步长来降低预报误差
19.3.1　将正弦预报分段进行

图94　分段的同调近似
Fig.94　Segmental coherency approximation

假设S群包含两台互相发散的机i和机k，夸张地表示在图94中，其惯量中心为δ_s。如果在较短时段（0，t₁）中，忽略δ_i和δ_k间的不同调性，即设δ_i1-δ_k1=δ_i(t₀)-δ_k(t₀)，则可用δ_i1(t)和δ_k1(t)曲线来代替实际上的δ_i(t)和δ_k(t)。在下一时段(t₁,t₂)中，根据t₁时刻的精确值δ_i(t₁)和δ_k(t₁)，把对应的近似曲线修正为δ_i2(t)和δ_k2(t)。这样就可以在每个时段内得到一组近似的理想两群轨迹。需要特别强调的是，每一时段初始时刻的各机转角值是R　ⁿ　积分提供的精确值，因此每一观察时段的误差并不产生后继效应。显然，只要观察步长足够小，就可以通过逐段修正的理想两群轨迹来逼近实际的非同调轨迹，用逐段修正的正弦P_e(δ)曲线来近似连续时变的P_e(δ)精确映象。这样，时变OMIB映象的稳定分析问题就被近似地处理为逐段经典模型（定常参数）OMIB系统的相应问题。
19.3.2　误差与预报步长的关系
图95给出了一个3机系统的失稳轨迹，其中A群中包含两台互相发散的机1和机2（见图95(a)），在整个动态过程中将δ₁和δ₂与惯量中心δ_a的偏移角分别固定在对应的初始值上（见图95(b)），得到近似的轨迹δ^SE1(t)和δ^SE2(t)（见图95(c)）。近似轨迹与实际轨迹之差在t轴上的积累效应反映为曲线三角形的阴影面积（见图95(d)）。

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图95　SEEAC中的同调近似
Fig.95　Coherency approximation in SEEAC

图96将同一组曲线（见图96(a)）分段进行同调近似（见图96(b)和图96(c)）。δ—t平面上的误差三角形面积大大减小了（见图96(d)）。

图96　分段的同调近似可以减少误差
Fig.96　Error is reduced by segmental coherency

某映射步内的估算误差既不会受过去各映射步的估算误差的影响，也不会影响以后各映射步的估算误差。
19.4　补偿由时变因素引起的预报误差
19.4.1　利用积分步终端映射点中的精确信息
分段的线性内插技术同时利用了两个映射点中的信息，但内插公式与电力系统数学模型无关，没有利用其内在规律，故而只适用于较小的映射步长。分段的正弦预报技术虽然只用了起始映射点中的信息，但由于利用了电力系统数学模型包含的信息，因此可用于较长的映射步长。
如果在线性内插过程中考虑数学模型，或者在分段的正弦预报技术中加入该映射步终端的精确映象点中的信息，是否可以对时变因素引起的估计误差作出校正呢?
19.4.2　时变因素在δ—t平面和P—δ面积上的表现
实际的摇摆曲线和理想两群模式的摇摆曲线的差别在δ—t平面上表现为曲线三角形的面积，称为δ—t误差三角形。非同调因素越强烈，δ—t误差三角形的面积越大。
图97中，设类正弦曲线ade是由无穷小步长积分结果的精确映象。如果取较大步长的一个映射步（δ_t ，δ_t+1），直线段ae是线性内插的结果，而曲线段abc是正弦预报的结果。

图97　非两群动态下的主导P_e(δ)曲线
Fig.97　P_e(δ) curves of multi-group dynamics

a.映射步起点δ_t处的预报误差。 正弦预报函数的参数是按该映射步起点处数学模型的解来计算的。因此，该点处的映射点（见图97中的a点）在Rⁿ积分精度含义上是无误差的。
b.映射步终点处的预报误差。映射步终点就是下一个映射点δ_t+1，因此在该点处，既有由δ_t处的正弦预报得到的值（c点），也有由无穷小步长积分结果得到的精确映射值（e点）。c点与e点之差（即线段ce）精确地反映了时变因素引起的误差。该误差并不会影响后继映射步。后者的正弦预报曲线是根据精确映象点e，而不是预报点c来构造的。
c.其它估算点的预报误差。对于δ_t<δ<δ_t+1的点来说，用正弦函数来表示非映射点的不平衡功率值，其预报误差未知。忽略预报误差的高次项，可以认为预报误差（注意，不是预报值本身）在映射步内与δ的预报距离呈线性关系，也即用直线段ac与直线段ae之间的垂直距离来表示预报误差。
d.P—δ平面上的误差三角形。
SEEAC正弦预报给出的曲线梯形δ_tabcδ_t+1与IEEAC给出的曲线梯形δ_tadeδ_t+1之面积差，可以用三角形ace的面积来近似。此三角形称为P—δ平面的误差三角形面积，反映了实际时变因素对暂态动能的影响。由于三角形ace的面积可以快速算出，从而可以方便地从SEEAC正弦预报的结果中扣除三角形ace的面积，以逼近IEEAC的结果。
从另一角度看，线性内插用梯形δ_taeδ_t+1的面积反映暂态动能的变化，弓形ade面积反映了非线性非自治补偿能量，而弓形abc的面积则是它的合理近似。因此可以方便地在线性插补的DEEAC结果中加上弓形abc的面积，来逼近IEEAC的结果。
19.5　DEEAC
19.5.1　采用分段正弦预报—时变校正算法求取稳定裕度
非自治多机系统受扰轨迹的稳定性定量分析问题可以近似地处理为逐个时段的理想两群哈密顿系统的相应问题，也即用逐段修正的正弦P_e(δ)曲线来近似连续时变的P_e(δ)精确映象。由于这种方法将ⁿ　中的非自治性和非两群性化为¹中映象OMIB系统的时变性，故被称之为动态EEAC。
19.5.2　故障中的多机系统受扰轨迹
在采用小步长积分—线性内插技术的IEEAC和采用单步正弦预报技术的SEEAC之间，还需要一种能粗略反映群内非同调因素的快速估算法。在分析和大量实验的基础上，推荐将每个时段分为两段的正弦预报，并由SEEAC提供步长信息。
如果只要求取给定τ值下的稳定裕度，可直接将故障期间泰勒级数的展开步长取为0.5τ。当求取CCT时，由SEEAC可以快速得到近似解t^SEc(设为τ)，取泰勒级数的展开步长为0.5τ（见图98） 。由于SEEAC基本反映了问题的本质，τ的误差不可能超过50%，因此DEEAC算得的CCT（设为t^DEc）不会小于0.5τ，对故障中的轨迹可以统一采用2段展开。

图98　分段正弦预报的步长
Fig.98　Sectionalizing the prediction

在采用多步泰勒级数展开时，除了从平衡状态出发的第1次泰勒展开以外，所有后继步中的奇数阶导数不再为零。此外δDE(τ)和δSE(τ)也将不同。
19.5.3　故障后的多机系统受扰轨迹
可以由SEEAC得到映象从δ_SEτ到δ_SE^u所需的时间t_u，将故障后的第1次泰勒级数展开步长取为0.5t_u。映象的突变点不再是由SEEAC得到的δ_SE^u，而是由DEEAC给出的DSP，即δ_d。
19.5.4　DEEAC的稳定裕度
在R　ⁿ　中得到各机在各映射点的运动状态变量后，就可以计算各预报段公式中的正弦参数，并得到各预报段中经过校正的动能增加面积Ainc=A₁+A₂和动能减少面积Adec=A₃+A₄。
首摆的稳定裕度η为：

η=A_dec-A_inc=(A₃+A₄)-(A₁+A₂)

其算法的步骤参见图99。

图99　DEEAC算法过程
Fig.99　The procedure of DEEAC

19.5.5　DEEAC的优点
DEEAC能在保持一定解析性的前提下，反映非自治因素对稳定裕度的影响，用逐段修正的正弦P_e(δ)曲线来近似连续时变的P_e(δ)精确映象，这对于稳定性理论研究来说极其宝贵。
SEEAC用群的等值参数直接对其惯量中心运动方程进行积分，得到群的近似动能。虽然具有宝贵的解析特性，但可能含有较大误差，特别对于大系统的复杂动态过程，难以满足实际工程的要求。IEEAC充分利用了数值积分技术的高精度和灵活性，但部分失去了直观性。DEEAC的特性介于它们之间。从计算的角度来看，如果直接用SEEAC向IEEAC提供各种初值，有可能增加后者的计算量。DEEAC只增加了很少的计算量，却大大提高了IEEAC的初值精度，从而显著地降低了整体计算量。因此，它是SEEAC 和IEEAC之间的有效接口。
19.6　复杂模型下的DEEAC
19.6.1　DEEAC对模型的限制
大步长泰勒级数展开特别适用于多机电力系统的运动状态变量。这是因为：①运动系统的数学模型是二阶微分方程组，广义位置量的低阶导数就是微分方程的右边项；②发电机组的不平衡功率是正弦函数，后者的各阶导数也可表示为正弦函数；③发电机组的惯性时间常数不会很小，因此较大的步长不会引起过大误差。
但是控制器和其它动态环节就不具备这些特点，此时的积分步长被模型中的最小时间常数所限定，因此，大步长泰勒级数展开使模型的适用性受到很大限制。
19.6.2　计及非线性负荷和感应电动机模型
文献［72］采用轨迹聚合方法来考虑非线性负荷和感应电动机模型。由于非线性负荷不再能以常数形式直接反映在导纳阵的对角元上，而反复将修正后的导纳阵降阶又需要太大的计算量^［10］，因此只能采用结构保持方案。每一次泰勒级数展开后，需要修正非线性或动态负荷的注入电流，然后求解完整的网络方程，才能得到发电机的电功率。
19.6.3　计及凸轴发电机模型
文献［73］在文献［69］的基础上改进了计及凸轴发电机模型的SEEAC。该项研究将模型聚合和轨迹聚合方法结合在一起，利用前者的快速性来部分或全部地代替多机积分，同时利用后者提高定量分析的精度和鲁棒性。该文在开发了复杂模型的大步长积分技术的同时，还将机网的非线性接口改进成为线性接口，避免了迭代运算。
在以上文献的基础上，文献［74］将凸极机和非线性负荷同时加入到DEEAC算法中，并取得较好的仿真结果。
19.6.4　同时计入快关汽门和切机
文献［75］同时计入了发电机的快关和切机。此时既不能像SEEAC那样以UEP概念来判断稳定性，又不可能以解析式来表示P_m(δ)和DSP。为此，一方面对每一台汽轮机的功率方程分别积分，以小步长修正由快关引起的映象P_m(t)曲线的变化；另一方面用大步长更新CCCOI等值，修正P_e(δ)的正弦曲线参数。在切机瞬间要考虑各等值参数的突变和被切机组带走的动能。取动态的P_e(δ)和P_m(δ)曲线的交点为DSP。在积分过程中，若映象角到达相关的DSP，则积分停止并确认系统不稳；若映象角返回，则确认该映象首摆稳定。失稳算例的稳定裕度直接用DSP处的动能来表达；对稳定算例，则需要在映象角到达FEP时冻结系统的时变性，以便估算其稳定裕度。稳定裕度对于切除时间τ的灵敏度系数由数值摄动法得到。摄动量须限制在1 ms～2 ms内，以避免η的不连续性。
19.6.5　同时计入快关汽门和自动电压调节器
文献［76］由EEAC的研究者与法国电力公司（EDF）的专家一起，在DEEAC中加入了快关汽门和自动电压调节器，有关的特性曲线由数值积分程序EUROSTAG提供，然后通过模型聚合和适当的转换将它们考虑进映象OMIB系统中。该项研究很好地满足了法国高压电网规划研究的要求：它不需要任何

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